Question

【題目】已知函數，，.

（1）若，且函數的圖象是函數圖象的一條切線，求實數的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若對任意實數，函數在上總有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知的圖象直線過點，設切點坐標為，則切線方程是，解方程可得，.

（2）由題意得恒成立，構造函數，二次求導討論可得在上單調遞增， 所以，即.

（3）利用必要條件探路，可知若，在上總有零點的必要條件是，即， 然后證明當時，在上總有零點可得實數的取值范圍是.

試題解析：

（1）由知，的圖象直線過點，

設切點坐標為，由得切線方程是，

此直線過點，故，解得，

所以.

（2）由題意得恒成立，

令，則，再令，則，

故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，

從而在上有最小值，

所以在上單調遞增，

所以，即.

（3）若，在上單調遞增，

故在上總有零點的必要條件是，即，

以下證明當時，在上總有零點.

①若，

由于，，且在上連續，

故在上必有零點；

②若，，

由（2）知在上恒成立，

取，則 ，

由于，，且在上連續，

故在上必有零點，

綜上得：實數的取值范圍是.