Question

函數f（x）=ax³-3x+1 對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a 的取值范圍為（ ）
A．[2，+∞）
B．[4，+∞）
C．{4}
D．[2，4]

Answer 1

【答案】分析：對x分-1≤x＜0，x=0，0＜x≤1三種情況分別求出a的取值范圍，然后求其交集即可．
解答：解：①當x=0時，f（x）=1≥0，對于a∈R皆成立．
②當0＜x≤1時，若總有f（x）≥0，則ax³-3x+1≥0，∴，
令g（x）=，g^′（x）==，令g^′（x）=0，解得x=．
當0時，g^′（x）＞0；當時，g^′（x）＜0．
∴g（x）在x=時取得最大值，g（）=4，∴a≥4．
③當-1≤x＜0時，若總有f（x）=0，則 ax³-3x+1≥0，∴a≤．
令h（x）=，則h^′（x）=≥0，
∴h（x）在[-1，0）上單調遞增，
∴當x=-1時，h（x）取得最小值，h（-1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函數f（x）=ax³-3x+1 對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a必須滿足，解得a=4．
∴a 的取值范圍為{4}．
故選C．
點評：本題考查了含參數的函數在閉區間（含0）上恒成立問題，即可以對自變量x進行分類討論，也可對參數a分類討論，求出答案．