Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是線段的中點.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.

Answer 1

（I）證明：見解析；（II）平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為.

試題分析：（I）由四邊形ABCD是等腰梯形，且，
可得且.
連接，可得，
從而得到四邊形為平行四邊形，
進一步可得平面.
（II）本題解答可有兩種思路，一是向量法，二是幾何法.
思路一：連接AC，MC，可得，
得到.以C為坐標原點，建立直角坐標系.
利用.求角的余弦值.
思路二：按照“一作，二證，三計算”.
過C向AB引垂線交AB于N，連接，
由平面ABCD，可得，
得到為二面角的平面角，
利用直角三角形中的邊角關系計算平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值.

試題解析：（I）證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，
且，
所以，又由M是AB的中點，
因此且.
連接，
在四棱柱中，
因為，
可得，
所以，四邊形為平行四邊形，
因此，
又平面，平面，
所以平面.

（II）解法一：
連接AC，MC，
由（I）知CD//AM且CD=AM，
所以四邊形AMCD為平行四邊形，
可得，
由題意，
所以為正三角形，
因此
因此.
以C為坐標原點，建立直角坐標系.

所以.
因此，
所以，，
設平面的一個法向量，
由，得，
可得平面的一個法向量.
又為平面ABCD的一個法向量，
因此.
所以平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為.
解法二：
由（I）知，平面平面ABCD=AB，
過C向AB引垂線交AB于N，連接，
由平面ABCD，可得，
因此為二面角的平面角，
在中，，
可得，
所以，
在中，，
所以平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為.