Question

【題目】以直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程為 ，（t為參數，0＜θ＜π），曲線C的極坐標方程為ρsin2α﹣2cosα=0．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，當θ變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C的極坐標方程為ρsin2α﹣2cosα=0，

∴ρ2sin2α=2ρcosα，

∴曲線C的直角坐標方程為y2=2x

（2）解：直線l的參數方程 ，（t為參數，0＜θ＜π），

把直線的參數方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，

則 ，t1t2=﹣ ，

|AB|=|t1﹣t2|=

= = ，

∴當 時，|AB|取最小值2

【解析】（1）曲線C的極坐標方程轉化為ρ2sin2α=2ρcosα，由此能求出曲線C的直角坐標方程．（2）把直線的參數方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則|AB|=|t1﹣t2|= ，由此能求出當 時，|AB|取最小值2．