Question

【題目】設函數．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2），恒成立，求最大的正整數的值；

（3），且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）8；（3）證明見解析.

【解析】

（1）時,函數,求導可得,可知函數在上單調遞增,而,即可得出單調區間；

（2）,恒成立,即,化為很成立,利用導數研究函數的單調性求得的最小值即可求解.

（3）,且,要證明：．

,,

即,

令,即證明時,恒成立；時,恒成立,利用導數研究單調性,進而證明即可.

（1）解:時,函數,

則,

因為函數在上單調遞增,

且,∴時,；時,,

∴函數的單調遞減區間為,單調遞增區間為.

（2）解:因為,恒成立,

即恒成立,則恒成立.

因為,

令,所以,則當時,；當時,,

所以當時,函數取得極小值即最小值,

因為,

所以,

所以的最大正整數值為8.

（3）證明:,且,

要證明,

只需證,．

即證,

設,

則時,恒成立；時,恒成立,

當時,,

,

因為函數在內單調遞增,且,∴,

所以在時單調遞減,

所以,

所以在內單調遞增,

所以,成立；

同理可得時,恒成立,

綜上可得,,且,