Question

（本小題滿分12分）甲有一個(gè)裝有個(gè)紅球、個(gè)黑球的箱子，乙有一個(gè)裝有個(gè)紅球、個(gè)黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定:所取兩球同色時(shí)甲勝，異色時(shí)乙勝（，，，）．
(Ⅰ)當(dāng),時(shí)，求甲獲勝的概率；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，規(guī)定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負(fù)得0分．求甲的得分期望達(dá)到最大時(shí)的，值；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意，甲、乙都取紅球的概率,
甲、乙都取黑球的概率,∴甲獲勝的概．……… 3分
（Ⅱ）令表示甲的分?jǐn)?shù)，則的取值為0,1,3,，， ，

	0	1	3

得的分布列如下：
于是；
又且，∴，且
故當(dāng)時(shí)，的最大值為．              ……………………………… 7分
（Ⅲ）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有 種不同情形，
每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，則，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，甲、乙獲勝的概率相等，這個(gè)游戲規(guī)則是公平的；
當(dāng)時(shí)，，甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，這個(gè)游戲規(guī)則不公平，有利于甲．

解析