Question

設等差數列{a_n}的前n項和為s_n，已知a₃=12，且s₁₂＞0，s₁₃＜0．
（1）求公差d的范圍；
（2）問前幾項和最大？并求最大值．

Answer 1

（1）依題意，有S12=12a1+

12×(12-1)

2

•d＞0，
S13=13a1+

13×(13-1)

2

•d＜0
即

2a1+11d＞0① a1+6d＜0②

由a₃=12，得a₁=12-2d③，
將③式分別代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

∴-

24

7

＜d＜-3．
（2）由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得a_n＞0，a_n+1＜0，
則S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．

S12＞0 S13＜0

⇒

a1+5d＞- d 2 ＞0 a1+6d＜0

⇒

a6＞0 a7＜0

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．