Question

【題目】已知曲線M：的左、右頂點分別為A，B，設P是曲線M上的任意一點.

（1）當P異于A，B時，記直線PA、PB的斜率分別為、則是否為定值，請說明理由.

（2）已知點C在曲線M長軸上（異于A、B兩點），且的最大值為7，求點C的坐標.

Answer 1

【答案】（1）k1k2為定值，證明見解析；（2）C（±3，0）

【解析】

（1）由已知橢圓方程求出A，B的坐標，設P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），由斜率公式及點P在橢圓上即可證明k1k2是定值；

（2）設C（m，0）（﹣4＜m＜4），寫出兩點間的距離公式，利用配方法求最值，可得C的坐標．

（1）證明：由橢圓方程可得A（﹣4，0），B（4，0），

設P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），

則，，

∴k1k2為定值；

（2）設C（m，0）（﹣4＜m＜4），

則

．

若4m≥0，即m≥0，則7，解得m＝3．

此時C，

同理，若4m＜0，可得m＝﹣3，此時C,

故C點坐標為C（±3，0）