Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD邊的中點，
（1）求證：BG⊥平面PAD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G為AD邊的中點，所以BG⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BG⊥平面PAD

（2）證明：連接PG，因為△PAD為正三角形，

G為AD邊的中點，

得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，

PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G，

所以AD⊥平面PGB，因為PB平面PGB．

所以AD⊥PB

（3）解：當F為PC邊的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：

取PC 的中點F，連接DE、EF、DF，

在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，

EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，因為BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，又因為PG⊥AD，AD∩BG=G，

∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD．

【解析】（1）證明BG⊥AD，通過平面與平面垂直的性質，即可證明BG⊥平面PAD．（2）連接PG，證明PG⊥AD，通過BG⊥AD，證明AD⊥平面PGB，然后證明AD⊥PB．（3）當F為PC邊的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：取PC 的中點F，連接DE、EF、DF，

通過證明BG⊥PG，PG⊥AD，AD∩BG=G，PG⊥平面ABCD，即可證明平面DEF⊥平面ABCD．

【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．