Question

（2013•浙江）已知a∈R，函數f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈[0，2]時，求|f（x）|的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出原函數的導函數，求出函數取x=1時的導數值及f（1），由直線方程的點斜式寫出切線方程；
（2）求出原函數的導函數，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三種情況求|f（x）|的最大值．特別當0＜a＜1時，仍需要利用導數求函數在區間（0，2）上的極值，然后在根據a的范圍分析區間端點值與極值絕對值的大小．

解答：解：（1）因為f（x）=x³-3x²+3ax-3a+3，所以f′（x）=3x²-6x+3a，
故f′（1）=3a-3，又f（1）=1，所以所求的切線方程為y=（3a-3）x-3a+4；
（2）由于f′（x）=3（x-1）²+3（a-1），0≤x≤2．
故當a≤0時，有f′（x）≤0，此時f（x）在[0，2]上單調遞減，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3-3a．
當a≥1時，有f′（x）≥0，此時f（x）在[0，2]上單調遞增，故
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a-1．
當0＜a＜1時，由3（x-1）²+3（a-1）=0，得x1=1-

1-a

，x2=1+

1-a

．
所以，當x∈（0，x₁）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（x₂，2）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
所以函數f（x）的極大值f(x1)=1+2(1-a)

1-a

，極小值f(x2)=1-2(1-a)

1-a

．
故f（x₁）+f（x₂）=2＞0，f(x1)-f(x2)=4(1-a)

1-a

＞0．
從而f（x₁）＞|f（x₂）|．
所以|f（x）|_max=max{f（0），|f（2）|，f（x₁）}．
當0＜a＜

2

3

時，f（0）＞|f（2）|．
又f(x1)-f(0)=2(1-a)

1-a

-(2-3a)=

a2(3-4a)

2(1-a) 1-a +2-3a

＞0
故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a)

1-a

．
當

2

3

≤a＜1時，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
又f(x1)-|f(2)|=2(1-a)

1-a

-(3a-2)=

a2(3-4a)

2(1-a) 1-a +3a-2

．
所以當

2

3

≤a＜

3

4

時，f（x₁）＞|f（2）|．
故f(x)max=f(x1)=1+2(1-a)

1-a

．
當

3

4

≤a＜1時，f（x₁）≤|f（2）|．
故f（x）_max=|f（2）|=3a-1．
綜上所述|f（x）|_max=

3-3a，a≤0 1+2(1-a) 1-a ，0＜a＜ 3 4 3a-1，a≥ 3 4

．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求閉區間上的最值，考查了分類討論的數學思想方法，正確的分類是解答（2）的關鍵，此題屬于難題．