Question

已知函數, .
（1）若, 函數 在其定義域是增函數，求的取值范圍；
（2）在（1）的結論下，設函數的最小值；
（3）設函數的圖象與函數的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）當時，的最小值為；當時，的最小值為；當時，的最小值為；（3）不存在點.

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、不等式基礎知識，考查函數思想、構造函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用導數研究函數的單調性，轉化為恒成立問題，再轉化為求函數最值問題；第二問，利用配方法求最值，討論對稱軸與區間端點的大小，本問突出體現了分類討論思想的運用；第三問，把問題坐標化，用反證法證明，利用切線平行，列出方程，構造函數，判斷單調性求最值，得出矛盾.
試題解析：（1）依題意：在上是增函數，
對恒成立，       2分
∴
∵,則.
∴的取值范圍為                   4分
（2）設，則函數化為
∵
∴當，即時，函數在上為增函數.
當時，；                     6分
當，即時，當時，；
當，即時，函數在上是減函數.
當時，                       8分
綜上所述，當時，的最小值為.
當時，的最小值為.
當時，的最小值為.              9分
（3）設點的坐標是且則點的橫坐標為
在點處的切線斜率為
在點處的切線斜率為       10分
假設在點處的切線與在點處的切線平行，則
則                      11分
則




設，則 ①                12分
令，則
∵，∴，所以在上單調遞增，
故，則.
這與①矛盾，假設不成立.故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.                                 14分