Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(km/h)是車流密度x(輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/km時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/km時，車流速度為60km/h，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．
(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；
(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出其最大值．(精確到1輛/小時)　

Answer 1

（1）v(x)＝（2）車流密度為100輛/km時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/h.

(1)由題意，當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b.
再由已知，得解得
故函數v(x)的表達式為v(x)＝
(2)依題意并由(1)可得f(x)＝
當0≤x≤20時，f(x)為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1200；
當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤ ²＝，
當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立．
所以，當x＝100時，f(x)在區間[20，200]上取得最大值.
綜上，當x＝100時，f(x)在區間[0，200]上取得最大值≈3333，
即當車流密度為100輛/km時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/h