Question

【題目】設函數f（x）=ax﹣﹣2lnx.

（Ⅰ）若f（x）在x=2時有極值，求實數a的值和f（x）的極大值；

（Ⅱ）若f（x）在定義域上是減函數，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)a≤0.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意得到關于實數a的方程，解方程可得，據此討論函數的性質可得函數的極大值為；

(Ⅱ)函數為減函數，則導函數小于等于0恒成立，據此分類討論可得實數a的取值范圍是a≤0.

試題解析：

（Ⅰ）f′（x）=a+﹣；

∴f′（2）=a+﹣1=0，解得a=；

∴f′（x）=+﹣=，

x＞0，令f′（x）=0，解得：x=，或2；

∴x∈（0，）時，f′（x）＞0；x∈（，2）時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0；

∴x=時，f（x）取得極大值f（）=2ln2﹣；

（Ⅱ）∵f′（x）=，

∴需x＞0時ax2﹣2x+a≤0恒成立；

a=0時，函數y=ax2﹣2x+a開口向上，x＞0時，滿足ax2﹣2x+a＜0恒成立，

a＜0時，函數g（x）=ax2﹣2x+a的對稱軸是x=1/a＜0，

圖象在y軸左側且g（0）=a＜0，故滿足題意，

a>0時不成立

綜上，a≤0.