Question

【題目】以坐標原點為極點，以軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數）．

（1）點在曲線上，且曲線在點處的切線與直線：垂直，求點的直角坐標；

（2）設直線與曲線有且只有一個公共點，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為；（2）.

【解析】

（1）求出曲線的普通方程，根據題意求出直線的方程，再將直線的方程與曲線的方程聯立，即可求得點的坐標；

（2）設直線的方程為（其中為直線的斜率），求出直線與半圓相切時直線的斜率的值，設點，，，求出直線、的斜率，利用數形結合思想可求得直線的斜率的取值范圍.

（1）由，所以，曲線的直角坐標方程為：，

點在曲線上，且曲線在點處的切線與直線：垂直，

直線與直線：平行，

直線的斜率，即的方程為，

由，得：．

即點的坐標為；

（2）將直線化為普通方程：（為直線的斜率），

當直線與半圓相切時，則有．

，或，

設點，，，則，．

由圖象知，當直線與半圓相切時，則，此時.

因此，當直線與半圓有且只有一個公共點時，直線的斜率的取值范圍是．