Question

【題目】已知是拋物線上任意一點，，且點為線段的中點．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若為點關于原點的對稱點，過的直線交曲線于、 兩點，直線交直線于點，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）設，，根據中點坐標公式可得，代入曲線方程即可整理得到所求的軌跡方程；（Ⅱ）設，設，，將直線與曲線聯立可得；由拋物線定義可知，若要證得只需證明垂直準線，即軸；由直線的方程可求得，可將點橫坐標化簡為，從而證得軸，則可得結論.

（Ⅰ）設，

為中點

為曲線上任意一點 ，代入得：

點的軌跡的方程為：

（Ⅱ）依題意得，直線的斜率存在，其方程可設為：

設，

聯立得：，則

直線的方程為，是直線與直線的交點

根據拋物線的定義等于點到準線的距離

在準線上 要證明，只需證明垂直準線

即證軸

的橫坐標：

軸成立 成立