Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為矩形， 為中點， ， ， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)與的交點為，連結(jié)，則為的中點，由為中點，利用三角形中位線定理可得，從而根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（Ⅱ）由勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得平面，故，再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，故就是直線與平面所成的角，在直角中可得.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)與的交點為，連結(jié).

因為為矩形，所以為的中點.

在中，由已知為中點，所以.

又平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）在中， ， ，

所以，

即.

因為平面平面，

平面平面， ，

所以平面，故.

又因為， 平面，所以平面，

故就是直線與平面所成的角.

在直角中， ，

所以.

即直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.