Question

在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C₁為到定點F（，）的距離與到定直線l₁：x+y+=0的距離相等的動點P的軌跡，曲線C₂是由曲線C₁繞坐標原點O按順時針方向旋轉45°形成的．
（1）求曲線C₁與坐標軸的交點坐標，以及曲線C₂的方程；
（2）過定點M（m，0）（m＞0）的直線l₂交曲線C₂于A、B兩點，點N是點M關于原點的對稱點．若=λ，證明：⊥（-λ）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），根據點到直線的距離公式和兩點間的距離公式，建立關于x、y的方程并化簡整理，即可得到曲線C₁的方程．分別取x=0和y=0解出曲線C₁在軸上的截距，即可曲線C₁與坐標軸的各交點的坐標．再由曲線是以F（，）為焦點，直線l₁：x+y+=0為準線的拋物線，將其順時針方向旋轉45°得到的拋物線焦點為（1，0），準線為x=-1，可得曲線C₂的方程是y²=4x；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l₂的方程為y=k（x-m），與拋物線y²=4x消去x，得y²-y-4m=0，可得y₁y₂=-4m．設N（-m，0），由=λ算出λ=，結合向量坐標運算公式得到-λ關于x₁、x₂、λ和m的坐標式，代入•（-λ）并化簡，整理可得•（-λ）=0，從而得到對任意的λ滿足=λ，都有⊥（-λ）．
解答：解（1）設P（x，y），由題意知曲線C₁為拋物線，并且有
=，
化簡得拋物線C₁的方程為：x²+y²-2xy-4x-4y=0．
令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，
所以，曲線C₁與坐標軸的交點坐標為（0，0）、（0，4）和（4，0）．
點F（，）到l₁：x+y+=0的距離為=2，
所以C₂是以（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線，其方程為：y²=4x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知直線l₂的斜率k存在且不為零，
設直線l₂的方程為y=k（x-m），代入y²=4x得
y²-y-4m=0，可得y₁y₂=-4m．
由=λ，得（m-x₁，-y₁）=λ（x₂-m，y₂），可得λ=，
而N（-m，0），可得-λ=（x₁+m，y₁）-λ（x₂+m，y₂）=（x₁-λx₂+（1-λ）m，y₁-λy₂）
∵=（2m，0），
∴•（-λ）=2m[x₁-λx₂+（1-λ）m]=2m[+-+（1+）m]
=2m（y₁+y₂）•=2m（y₁+y₂）•=0
∴對任意的λ滿足=λ，都有⊥（-λ）．
點評：本題給出動點的軌跡，求軌跡對應的方程并討論由曲線產生的向量互相垂直的問題，著重考查了點到直線的距離公式、平面內兩點的距離公式、一元二次方程根與系數的關系和平面向量數量積的坐標運算等知識，屬于中檔題．