Question

【題目】已成橢圓 的左右頂點分別為 ，上下頂點分別為 ，左右焦點分別為 ，其中長軸長為4，且圓 為菱形 的內切圓．
（1）求橢圓 的方程；
（2）點 為 軸正半軸上一點，過點 作橢圓 的切線 ，記右焦點 在 上的射影為 ，若 的面積不小于 ，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知 ，所以 ，

所以 ，則

直線 的方程為 ，即 ，

所以 ，解得 ，

故橢圓 的方程為 ；

（2）

由題意，可設直線 的方程為 ，

聯立 消去 得 ，（*）

由直線 與橢圓 相切，得 ，

化簡得 ，

設點 ，由（1）知 ，則

，解得 ，

所以 的面積 ，

代入 消去 化簡得 ，

所以 ，解得 ，即 ，

從而 ，又 ，所以 ，

故 的取值范圍為 .

【解析】（1）圓O為菱形 的內切圓，則原點到直線 的距離等于圓O的半徑；（2）設直線 的方程為 ，與橢圓聯立，直線l與橢圓相切，則判別式為0，列出關于m，n的方程。設點 ，表示出 的面積，根據題意 的面積不小于 ，求出n的取值范圍。
【考點精析】本題主要考查了橢圓的概念和橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．