Question

【題目】由甲、乙、丙三個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)參加某項(xiàng)闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個(gè)人依次進(jìn)行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個(gè)人.3個(gè)人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團(tuán)隊(duì)進(jìn)入下一關(guān)，否則淘汰出局.根據(jù)以往100次的測(cè)試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時(shí)間的頻率分布直方圖.

（1）若甲解開密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，求、的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；

（2）若以解開密碼鎖所需時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時(shí)間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨(dú)立.

①按乙丙甲的先后順序和按丙乙甲的先后順序哪一種可使派出人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望更小.

②試猜想：該團(tuán)隊(duì)以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小，不需要說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是（2）①按乙丙甲派出的順序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙

【解析】

（1）根據(jù)甲解開密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)求得，根據(jù)頻率求得，由此求得甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率.通過頻率分布直方圖求得乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率.

（2）

①分別求得兩個(gè)不同順序的方法對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，由此求得期望更小的安排方法.

②按照解鎖概率大的人員排前面，期望值最小.通過計(jì)算前兩位、后兩位人員交換時(shí)，期望值的變化情況，來確定最優(yōu)的排法.

（1）甲解開密碼鎖所需時(shí)間的中位數(shù)為47，

∴，解得；

∴，解得；

∴甲在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；

乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率是；

（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率分別是，，且各人是否解開密碼鎖相互獨(dú)立；

設(shè)按乙丙甲的順序?qū)��?yīng)的數(shù)學(xué)期望為，按丙乙甲的順序?qū)��?yīng)的數(shù)學(xué)期望為

則，，，，∴，

①∴

同理可求得

所以按乙丙甲派出的順序期望更小.

②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙，

（下面是理由，給老師和學(xué)生參考）

設(shè)按先后順序自能完成任務(wù)的概率分別為，，，且，，互不相等，

根據(jù)題意知的取值為1，2，3；

則，，，，∴，

若交換前兩個(gè)人的派出順序，則變?yōu)?/span>，

由此可見，當(dāng)時(shí)，交換前兩人的派出順序會(huì)增大均值，故應(yīng)選概率最大的甲先開鎖；

若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，

∵交換前，

∴交換后的派出順序則期望值變?yōu)?/span>，

當(dāng)時(shí)，交換后的派出順序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，

這樣能使所需派出的人員數(shù)目的均值（教學(xué)期望）達(dá)到最小.