Question

（2013•渭南二模）如圖，是函數y=Asin（ωx+?），（ω＞0，-π＜?＜π）的圖象的一段，O是坐標原點，P是圖象的最高點，M點坐標為（5，0），若|

OP

|=

10

，

OP

•

OM

=15，則函數的解析式為

y=sin(

π

4

x-

π

4

)

．

Answer 1

分析：設點P（x₁，y₁），由題意可得

10

×5×cos∠POM=15，求得cos∠POM=

3

10

=

x1

OP

=

x1

10

，求得x₁的值，利用同角三角函數的基本關系求得sin∠POM=

1

10

=

y1

10

，求得 y₁ 的值，可得最高點P的坐標為（3，1），可得A=1．再由

1

4

•

2π

ω

=5-3，求得ω 的值．把點M（5，0）代入函數的解析式求得 ? 的值，從而求得函數的解析式．

解答：解：設點P（x₁，y₁），∵|

OP

|=

10

，

OP

•

OM

=15，∴

10

×5×cos∠POM=15，求得cos∠POM=

3

10

．
再由 cos∠POM=

x1

OP

=

x1

10

，可得

3

10

=

x1

10

，解得x₁=3．
再由∠POM為銳角，可得sin∠POM=

1

10

=

y1

OP

=

y1

10

，∴y₁=1，即最高點P的坐標為（3，1），∴A=1．
再由

1

4

•

2π

ω

=5-3=2，可得ω=

π

4

．
把點M（5，0）代入函數的解析式 y=sin（

π

4

x+?）可得，sin（（

5π

4

+?）=0，即 sin（

π

4

+?）=0，∴

π

4

+?=kπ，k∈z．
結合-π＜?＜π，可得 ?=-

π

4

，故函數的解析式為 y=sin(

π

4

x-

π

4

)，
故答案為 y=sin(

π

4

x-

π

4

)．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數的解析式，屬于中檔題．