Question

如圖,已知橢圓+=1的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點.

(1)若點G的橫坐標為-,求直線AB的斜率.

(2)記△GFD的面積為S₁,△OED(O為原點)的面積為S₂.試問:是否存在直線AB,使得S₁=S₂?說明理由.

Answer 1

【解析】(1)依題意,直線AB的斜率存在,

設其方程為y=k(x+1),

將其代入+=1,

整理得(4k²+3)x²+8k²x+4k²-12=0,

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),所以x₁+x₂=,

故點G的橫坐標為=.

依題意,得=-,解得k=±.

(2)假設存在直線AB,使得S₁=S₂,顯然直線AB不能與x,y軸垂直.

由(1)可得G,

因為DG⊥AB,所以×k=-1,

解得x_D=,即D,

因為△GFD∽△OED,

所以S₁=S₂⇔|GD|=|OD|,

所以

=,

整理得8k²+9=0,因為此方程無解,

所以不存在直線AB,使得S₁=S₂.