Question

中國籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA）的總決賽采用七局四勝制．當(dāng)兩支實力水平相當(dāng)?shù)那蜿犨M入總決賽時，根據(jù)以往經(jīng)驗，第一場比賽中組織者可獲票房收入3a萬元，以后每場比賽票房收入比上一場增加a萬元，當(dāng)兩隊決出勝負后，求：
（1）組織者至少可以獲得多少票房收入？
（2）決出勝負所需比賽場次的均值．
（3）組織者獲得票房收入不少于33a萬元的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得分出勝敗至少要4局，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得此時組織者可以獲得的票房為3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a），計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，要求的決出勝負所需比賽場次的均值就是變量決出勝負所需比賽場次的期望，可以設(shè)兩隊為甲隊、乙隊，再設(shè)決出勝負所需比賽場次的值為ξ，分析可得ξ可取的值為4、5、6、7，分別計算ξ=4、5、6、7時的概率，進而由期望計算公式計算可得答案．
（3）進行4場，5場，6場，7場比賽組織者可分別獲得票房收入為18a萬元，25a萬元，33a萬元，42a萬元，由（2）中分布列可得組織者獲得票房收入不少于33a萬元的概率

解答：解：（1）根據(jù)題意，采用七局四勝制，分出勝敗至少要4局，
則此時組織者可以獲得3a+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+3a）=18a萬元，
即組織者至少可以獲得18a萬元的票房收入；
（2）根據(jù)題意，兩支球隊的實力水平相當(dāng)?shù)那蜿牐�設(shè)兩隊為甲隊、乙隊，且甲隊、乙隊每局取勝的概率為

1

2

；
設(shè)決出勝負所需比賽場次的值為ξ，則ξ可取的值為4、5、6、7，
ξ=4，即4局分出勝負，包括甲連勝4局與乙連勝4局兩種情況，
則P（ξ=4）=2×（

1

2

）⁴=

1

8

；
ξ=5，即5局分出勝負，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₄³×（

1

2

）⁴×

1

2

=

1

8

，同理乙取勝的概率為

1

8

，
則P（ξ=5）=2×

1

8

=

1

4

，
ξ=6，即6局分出勝負，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₅³×（

1

2

）⁵×

1

2

=

5

32

，同理乙取勝的概率為

5

32

，
則P（ξ=6）=2×

5

32

=

5

16

，
ξ=7，即7局分出勝負，包括甲取勝與乙取勝兩種情況，
甲取勝的概率為C₆³×（

1

2

）⁶×

1

2

=

5

32

，同理乙取勝的概率為

5

32

，
則P（ξ=7）=2×

5

32

=

5

16

，
決出勝負所需比賽場次的均值為4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

；
故決出勝負所需比賽場次的均值為

93

16

．
（3）進行4場，5場，6場，7場比賽組織者可分別獲得票房收入為
18a萬元，25a萬元，33a萬元，42a萬元，
故票房收入不少于33a萬元的概率P=

5

16

+

5

16

=

5

8

點評：本題考查離散變量的期望的計算，注意（2）中要求的決出勝負所需比賽場次的均值就是變量決出勝負所需比賽場次的期望．