Question

底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a,PA⊥平面ABCD，點E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)求二面角E—AC—D的大小；

(2)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？若存在，求出點F；若不存在，請說明理

由.

Answer 1

解:（1）作EM⊥AD于M，∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

∴EM⊥平面ABCD.

作MN⊥AC于N，連結NE，則NE⊥AC.

∴∠ENM即為二面角E—AC—D的平面角，

∵EM=PA=a,AM=a,

MN=AM·sin60°=a·=a.

∴tanENM=.

∴∠ENM=30°.

∴二面角E-AC—D的大小為30°.

(2)解法1：取PC中點F，PE中點Q，連結FQ、BF、BQ，設AC∩BD=O,連OE，

則OE∥BQ,QF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE.

∴BF∥平面ACE.

∴在棱PC上存在中點F，使BF∥平面AEC.

解法2：建系如圖，A（0，0，0），B（a,-a,0）,D(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a),

∴(0,a,a),（a,a,0）(a,a,-a).

設=λ=(λa,λa,-λa),又=(a,a,a),

∴=+=(a(λ-1),(1+λ)a,a(1-λ)

令=λ₁+λ₂,

∴=λ₁(a,a,0)+λ₂(0,a,a),

則即

∴當λ=時，=-+,

即與，共面,此時F為BC中點.又BF平面ACE，∴BF∥平面ACE.

解法3：取PC中點F，由=+=+(+)=+

+=+ (-)+ (-)=

-,

∴與、共面.又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.