Question

已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;
(Ⅱ) 在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P
的直線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且
PQ與C在點P處的切線垂直?
若存在, 求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.

Answer 1

x² = 4y ,滿足條件的點P存在,其坐標為P(±4,4)

(Ⅰ) 解: 設拋物線C的方程是x² = ay,
則,       即a =" 4" .
故所求拋物線C的方程為x² = 4y .            …………………(5分)
(Ⅱ) 解:設P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) ,
則拋物線C在點P處的切線方程是：,
直線PQ的方程是： .
將上式代入拋物線C的方程, 得：,
故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,
所以x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .
而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),
×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1
＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1
＝－2y₁－－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)
＝(y₁＋1)²－＝＝0,
故 y₁＝4, 此時, 點P的坐標是(±4,4) . 經檢驗, 符合題意.
所以,滿足條件的點P存在,其坐標為P(±4,4). ………………(15分)