Question

關于x的方程a（1+i）x²+（1+a²i）x+a²+i=0 （a∈R）有實根，求a的值及方程的根．

Answer 1

分析：設x=x₀是原方程的根，則a（1+i）x₀²+（1+a²i）x₀+a²+i=0，即（ax₀²+x₀+a²）+（ax₀²+a²x₀+1）i=0
根據復數相等的條件可得

ax02+x0+a2=0  ax02+a2x0+1=0

，從而可求

解答：解：設x=x₀是原方程的根，則a（1+i）x₀²+（1+a²i）x₀+a²+i=0
即（ax₀²+x₀+a²）+（ax₀²+a²x₀+1）i=0
∴

ax02+x0+a2=0  ax02+a2x0+1=0

兩式相減可得，（a²-1）x=a²-1
（1）當a²-1≠0時，x₀=1代入原方程可得，a²+a+1=0沒有實根
（2）當a²-1=0時，若a=1，則x₀²+x₀+1=0沒有實根
若a=-1，則x²-x-1=0，解得x0=

1± 5

2

綜上可得a=-1，x=

1± 5

2

點評：本題主要考查 實系數方程的根的求解，解答的關鍵是根據復數相等的條件：當且僅當實部與虛部分別相等．