Question

如圖，已知橢圓C過點M（2，1），兩個焦點分別為(-

6

，0)、(

6

，0)，O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）試問直線MA、MB的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段AB為直徑且過點M的圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知半焦距c=

6

，長半軸長a=

(2- 6 )2+12 + (2+ 6 )2+12

2

=

( 11-4 6 + 11+4 6 )2

2

=2

2

，短半軸長b=

(2 2 )2-( 6 )2

=

2

，由此能得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=

1

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），kMA=

y1-1

x1-2

=

1 2 x1+m-1

x1-2

=

1

2

+

m

x1-2

，kMB=

1

2

+

m

x2-2

，由

x2 8 + y2 2 =1 y= 1 2 x+m

知x²+2mx+2m²-4=0，得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．由此入手能夠求出圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題設知：半焦距c=

6

，
長半軸長a=

(2- 6 )2+12 + (2+ 6 )2+12

2

=

( 11-4 6 + 11+4 6 )2

2

=2

2

，
短半軸長b=

(2 2 )2-( 6 )2

=

2

，于是橢圓C的方程是：

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=

1

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）kMA=

y1-1

x1-2

=

1 2 x1+m-1

x1-2

=

1

2

+

m

x1-2

，kMB=

1

2

+

m

x2-2

由

x2 8 + y2 2 =1 y= 1 2 x+m

知x²+2mx+2m²-4=0，得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4；
∴kMA+kMB=1+

m(x1+x2-4)

x1x2-2(x1+x2)+4

=1+

m(-2m-4)

2m2-4-2(-2m)+4

=0為定值；
由線段AB為直徑且過點M的圓知：MA⊥MB有k_MA•k_MB=-1，得k_MA=1，k_MB=-1；
∴

1

2

+

m

x1-2

=1，

1

2

+

m

x2-2

=-1，又x₁+x₂=-2m；得x1=-

2

5

，x2=

14

5

；
∴y1=-

7

5

，y2=

1

5

，圓的方程為：(x+

2

5

)(x-

14

5

)+(y+

7

5

)(y-

1

5

)=0
即：(x-

6

5

)2+(y+

3

5

)2=

16

5

．

點評：本題考查橢圓方程的求法和圓與直線位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．