Question

已知函數．
（Ⅰ）若，求函數的單調區間；
(Ⅱ)若函數的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數 是的導函數）在區間上總不是單調函數，求的取值范圍；  
(Ⅲ)求證：．

Answer 1

（Ⅰ）的單調增區間為，減區間為
(Ⅱ)    (Ⅲ)先證.

試題分析：（Ⅰ）當時，．令得；令得，∴的單調增區間為，減區間為 .
（Ⅱ） ∵∴得，
 ，，∴ 
∵在區間上總不是單調函數，且∴  
由題意知：對于任意的，恒成立，
所以，，∴.  故的取值范圍為．
（Ⅲ）證明如下： 由（Ⅰ）可知
當時，即，
∴對一切成立．
∵，則有，∴.    
.
點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，已知函數曲線上一點求曲線的切線方程即對函數導數的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數的數學問題的處理，構造函數求解證明不等式問題．