Question

設函數f（x）的定義域為R，對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又當x＞0時，f（x）＜0且f（2）=-1．試問函數f（x）在區間[-6，6]上是否存在最大值與最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：由已知中對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我們可以得到設x=y=0，則f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），進而根據函數奇偶性的定義得到結論f（x）為奇函數，再利用函數單調性的定義由x＞0時，有f（x）＞0，結合對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判斷出函數的單調性，進而根據f（2）=-1，得到f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值，得到答案．

解答：解：令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數．…（2分）
任取兩個自變量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數．…（8分）
因此f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值                  …（10分）
最小值為f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=-3；
最大值為f（-6）=-f（6）=3．…（12分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數，函數單調性與性質，是對函數性質及應用的綜合考查．