Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D為AB的中點，且CD⊥DA₁．
（1）求證：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求BC₁與平面ABB₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接AC₁與A₁C交于點K，連接DK．根據三角形中位線定理，易得到DK∥BC₁，再由線面平行的判定定理得到BC₁∥平面DCA₁；
（2）方法一：由AC=BC，D為AB的中點，取A₁B₁的中點E，又D為AB的中點，得到DCC₁E是平行四邊形，則∠EBC₁即為BC₁與平面ABB₁A₁所成角的二面角，解三角形即可求出答案．方法二：由AC=BC，D為AB的中點，取DA₁的中點F，則∠KDF即BC₁與平面ABB₁A₁所成的角．解三角形即可求出答案．

解答：證明：（1）如圖一，連接AC₁與A₁C交于點K，連接DK．
在△ABC₁中，D、K為中點，∴DK∥BC₁、（4分）
又DK?平面DCA₁，BC₁?平面DCA₁，∴BC₁∥平面DCA₁、（6分）

圖一　　　　　　　　　圖二　　　　　　　　圖三
（2）證明：（方法一）如圖二，∵AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA₁，AB∩DA₁=D，∴CD⊥平面ABB₁A₁、（8分）
取A₁B₁的中點E，又D為AB的中點，∴DE、BB₁、CC₁平行且相等，
∴DCC₁E是平行四邊形，∴C₁E、CD平行且相等．
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，∴∠EBC₁即所求角、（10分）
由前面證明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱為直棱柱．
設AC=BC=BB₁=2，∴BC1=2

2

，EC1=

2

，∠EBC₁=30°、（12分）
（方法二）如圖三，∵AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB、
又CD⊥DA₁，AB∩DA₁=D，∴CD⊥平面ABB₁A₁、（8分）
取DA₁的中點F，則KF∥CD，∴KF⊥平面ABB₁A₁．
∴∠KDF即BC₁與平面ABB₁A₁所成的角．（10分）
由前面證明知CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，∴BB₁⊥平面ABC，∴此三棱柱為直棱柱．
設AC=BC=BB₁=2，∴KF=

2

2

，DK=

2

，∴∠KDF=30°、（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中（1）的關鍵是得到DK∥BC₁，（2）的關鍵是求出BC₁與平面ABB₁A₁所成角的平面角．本小題在能力方面主要考查立體幾何的相關知識及空間想象能力，具體涉及到線面的平行關系、線面角的求法．