Question

如圖所示，在直三棱柱中，，D為AC的中點．

(Ⅰ)求證：

(Ⅱ)若，求證：；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，  求二面角B-A₁C₁-D的大小．

Answer 1

解：(Ⅰ) 連結AB₁交A₁B于E，連ED．

∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱中，且AB=BB_l，

∴側面ABB₁A₁是一正方形． 

∵E是AB₁的中點．又已知D為AC的中點．

∴在△AB₁C中，ED是中位線．

∴B₁C//ED．

∴B₁C∥平面A₁BD．

(Ⅱ)  ∵ AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B．

又∵側面ABB₁A₁是一正方形，∴A₁B⊥AB₁．

∴A₁B⊥平面AB₁C₁．∴A₁B⊥B₁C₁．

又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥B₁C₁．

∴B_lC_l⊥平面ABB₁A₁     

(Ⅲ)  ∵AB=BC，D為AC的中點，

∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC₁A₁．

∴BD就是三棱錐B-A₁C₁D的高．

由(Ⅱ)知   B_lC_l⊥平面ABB_lA_l，∴BC⊥平面ABB_lA_l．

∴BC⊥AB．以BA、BC、BB₁分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

不妨設 AB=BC=BB₁=1，則顯然B、D、A₁、C₁各點的坐標分別是

B（0，0，0），D(,,0) ， A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）.

∴(1，0，1)， =（0，1，1），(，，0).

顯然，就是平面A₁C₁D的法向量.

設平面BA₁C₁ 的法向量為，則，

∴?（1，0，1）=0，?（0，1，1）=0

∴. 令，則=（1，1，-1）

設與 所成的角為，則.

由圖形可知二面角B-A₁C₁-D的平面角為銳角，

∴二面角B-A₁C₁-D的大小為.