Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表．

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	2	0	2	1

f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示．下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)；
②如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）最大值是2，那么t的最大值為4；
③函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)，則1≤a＜2；
④已知（a，b）是y=

2013

f(x)

的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，則b-a的最大值為2．
其中真命題的個(gè)數(shù)是

3

．

Answer 1

分析：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可得到原函數(shù)的大體圖象，從而對(duì)①②③④四個(gè)選項(xiàng)作出判斷．

解答：解：依題意，可得y=f（x）在[-1，5]上的圖象如下：
①由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，故①正確；
②由原函數(shù)圖象可知，如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）最大值是2，那么t的最大值為4，當(dāng)t=5時(shí)，最大值也是4，故②錯(cuò)誤；
③由原函數(shù)圖象可知，當(dāng)1≤a＜2時(shí)，直線x=a與y=f（x）有四個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)，故③正確；
④依題意，y=

2013

f(x)

的單調(diào)遞減區(qū)間，為y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由于f（2）=0，故b-a的最大值為2，正確，
故真命題的個(gè)數(shù)為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查作圖能力與分析能力，屬于難題．