Question

（2011•西城區(qū)一模）已知拋物線y²=4x的焦點為F，直線l過點M（4，0）．
（Ⅰ）若點F到直線l的距離為

3

，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設(shè)A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸重合，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），由已知，拋物線C的焦點坐標(biāo)為（1，0），因為點F到直線l的距離為

3

，所以

|3k|

1+k2

=

3

，由此能求出直線l的斜率．
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點的坐標(biāo)為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為AB不垂直于x軸，所以直線MN的斜率為

y0

x0-4

，直線AB的斜率為

4-x0

y0

，直線AB的方程為y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)，由此能夠證明線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，x=4不合題意．設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
由已知，拋物線C的焦點坐標(biāo)為（1，0），…（1分）
因為點F到直線l的距離為

3

，
所以

|3k|

1+k2

=

3

，…（3分）
解得k=±

2

2

，所以直線l的斜率為±

2

2

．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點的坐標(biāo)為N（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為AB不垂直于x軸，
則直線MN的斜率為

y0

x0-4

，
直線AB的斜率為

4-x0

y0

，…（7分）
直線AB的方程為y-y0=

4-x0

y0

(x-x0)，…（8分）
聯(lián)立方程

y-y0= 4-x0 y0 (x-x0) y2=4x

消去x得(1-

x0

4

)y2-y0y+

y

2 0

+x0(x0-4)=0，…（10分）
所以y1+y2=

4y0

4-x0

，…（11分）
因為N為AB中點，
所以

y1+y2

2

=y0，即

2y0

4-x0

=y0，…（13分）
所以x₀=2．即線段AB中點的橫坐標(biāo)為定值2．…（14分）

點評：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題的易錯點是計算量大，容易出錯．