Question

已知二次函數f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點（0，1），且滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R）
（I）求該二次函數的解析式及函數的零點．
（II）已知函數在（t-1，+∞）上為增函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

解：（I）因為二次函數f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點（0，1），所以c=1
又因為函數f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），所以，所以a=
所以二次函數的解析式為：f（x）=x²+2x+1
由f（x）=0，可得函數的零點為：-2+，-2-；
（II）因為函數在（t-1，+∞）上為增函數，且函數圖象的對稱軸為x=-2，
所以由二次函數的圖象可知：t-1≥-2
∴t≥-1．
分析：（I）利用二次函數f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點（0，1），可求c的值；根據函數f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），可求a的值，從而可得二次函數的解析式；由f（x）=0，可得函數的零點；
（II）根據函數在（t-1，+∞）上為增函數，且函數圖象的對稱軸為x=-2，可得t-1≥-2，從而可求實數t的取值范圍．
點評：本題考查二次函數解析式的確定，考查函數的零點，考查函數的單調性，確定函數的解析式是關鍵．