Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（0，1），離心率為

2

2

．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點F，且與橢圓E交于A、B兩點，點A關于x軸的對稱點為C，直線BC與x軸交于點M，當△MAF的面積為

1

2

，求△MAC的內切圓方程．

Answer 1

分析：（I）設橢圓E的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由橢圓E過點（0，1），離心率為

2

2

，知

b=1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點A關于x軸的對稱點為C，知C（x₁，-y₁），設直線l的方程為y=k（x+1），由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此入手能求出△MAC的內切圓方程．

解答：解：（I）設橢圓E的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵橢圓E過點（0，1），離心率為

2

2

，
∴

b=1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓E的方程為：

x2

2

+y2=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點A關于x軸的對稱點為C，∴C（x₁，-y₁），
設直線l的方程為y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
由直線BC的方程為：y-y₂=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
得y=

y2+y1

x2-x1

x-

x1y2+x2y1

x2-x1

，
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y2+y1

=

2kx1x2+k(x1+x2)

k(x1+x2)+2k

=-2．
∴M（-2，0）．
∵S△MAF=

1

2

|MF|•|y1|=

1

2

，
得y₁=±1，
∴A（0，1），C（0，-1），或A（0，-1），C（0，1）．
由MF為∠CMA的平分線，設內切圓的圓心P（t，0），（-2＜t＜0）
圓P的方程為（x-t）²+y²=t²，與直線MA，AC相切，
由

|t+2|

5

=-t，得t=

1- 5

2

，
∴△MAC的內切圓方程為（x-

1- 5

2

）²+y²=

3- 5

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內切圓的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、點到直線的距離公式的合理運用．