Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和上下兩個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F₁B₁F₂為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點(diǎn)F₂ ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線、分別交直線于點(diǎn)、，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為.求證:為定值.

Answer 1

(1)；（2）為定值.

試題分析：(1)由橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)和上下兩個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F₁B₁F₂為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)可得，從而得到橢圓方程.（2）通過題目條件，將直線方程設(shè)出來，再將它與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來，即點(diǎn)，點(diǎn)，再分別表示出直線、的方程，令，得到點(diǎn),，的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，利用斜率公式即得到，通過聯(lián)立直線與橢圓方程，用韋達(dá)定理替換，，化簡(jiǎn)之后即可證明為定值.本題利用“設(shè)而不求”達(dá)到證明的目的，充分利用韋達(dá)定理消去繁雜的未知數(shù).這是解決帶有直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題的常用的手段.
試題解析：(1)由條件知，    2分
故所求橢圓方程為.    4分

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
將直線方程代入橢圓：，
整理得：，    6分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，且
    8分
直線的方程為：，直線的方程為：，令，
得點(diǎn)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo).    9分
直線的斜率為.
.    11分
將代入上式得：
.
所以為定值.    14分