Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a•sin（x+α₁）+b•sin（x+α₂），其中a，b，α₁，α₂為已知實(shí)常數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)f（x）的性質(zhì)判斷正確的命題的序號是

①②③

．
①若f(0)=f(

π

2

)=0，則f（x）=0對任意實(shí)數(shù)x恒成立；
②若f（0）=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
③若f(

π

2

)=0，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

分析：先由f（0）=0，得出a•sin（α₁）+b•sin（α₂）=0，要判斷函數(shù)為奇函數(shù)，只需驗(yàn)證f（-x）+f（x）=0；然后由f（

π

2

）=0，得出-a•cos（α₁）-b•cos（α₂）=0，要判斷函數(shù)為偶函數(shù)，只需驗(yàn)證f（-x）-f（x）=0，從而得到f(0)=f(

π

2

)=0時(shí)的結(jié)論．

解答：解：若f（0）=0，則f（0）=a•sin（α₁）+b•sin（α₂）=0，
f（-x）+f（x）=a•sin（-x+α₁）+b•sin（-x+α₂）+a•sin（x+α₁）+b•sin（x+α₂）=0，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
若f（

π

2

）=0，則f（

π

2

）=a•sin（

π

2

+α₁）+b•sin（

π

2

+α₂）=-a•cos（α₁）-b•cos（α₂）=0，
∴f（-x）-f（x）=a•sin（-x+α₁）+b•sin（-x+α₂）-a•sin（x+α₁）-b•sin（x+α₂）=0，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
對于①若f（0）=f（

π

2

）=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，也為偶函數(shù)，∴f（x）=0對任意實(shí)數(shù)x恒成立；
對于②，若f（0）=0，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)為真命題；
對于③，若f(

π

2

)=0，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)為真命題．
故答案為：①②③

點(diǎn)評：本題主要考查了命題的真假的判定，以及三角函數(shù)的化簡，考查新定義三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是一一判斷，屬于基礎(chǔ)題．