Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，定點A（4，2）在直線x-2y=0上，點P在線段OA上，過P點作圓M的切線PT，切點為T．
（1）若MP=

5

，求直線PT的方程；
（2）經(jīng)過P，M，T三點的圓的圓心是D，求線段DO長的最小值L．

Answer 1

分析：（1）先由MP=

5

 求得P 的坐標，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑1，求得切線的斜率，點斜式求切線的方程．
（2）設P（2t，t），0≤t≤2，經(jīng)過 P，M，T三點的圓的圓心為PM的中點D（t，1+

t

2

），求得OD²的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OD的最小值L．

解答：解：（1）先由MP=

5

 求得：P（2，1）． 直線X=2與圓不相切，設直線PT：y-1=k（x-2），即：kx-y+1-2k=0，
圓心M（0，2）到直線距離為1，得：K=0 或k=-

4

3

，直線方程為：y=1或4x+3y-11=0．
（2）設P（2t，t），0≤t≤2，經(jīng)過 P，M，T三點的圓的圓心為PM的中點D（t，1+

t

2

），
所以，OD2= t2+(1+

t

2

)2= 

5

4

t2+t+1，0≤t≤2，t=0 時，得OD的最小值L=1．

點評：本題考查用點斜式求直線的方程，直線和圓的位置關(guān)系，判斷經(jīng)過 P，M，T三點的圓的圓心為PM的中點D（t，1+

t

2

），是解題的難點和關(guān)鍵．