Question

如圖，拋物線C₁：y²=8x與雙曲線有公共焦點F₂，點A是曲線C₁，C₂在第一象限的交點，且|AF₂|=5．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）以F₁為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）²+y²=1．已知點，過點P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l₁和l₂，設l₁被圓M截得的弦長為s，l₂被圓N截得的弦長為t．是否為定值？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線C₁的焦點為F₂（2，0），得出雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），再設A（x，y）在拋物線C₁上，根據|AF₂|=5結合拋物線的定義得，x、y的值，最后根據雙曲線定義結合點A在雙曲線上，得a=1，可求雙曲線方程；
（2）設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，根據雙曲線的漸近線方程和直線與圓相切的條件，得圓M的半徑為，從而求出圓M的方程．過點P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l₁和l₂，設其中的一條斜率為k，則另一條的斜率為，利用直線的點斜式方程，將直線l₁和l₂的方程與圓M方程聯解，可以得出弦長為s和t關于k的表達式，將其代入進行化簡，可以得到定值．
解答：解：（1）∵拋物線C₁：y²=8x的焦點為F₂（2，0），
∴雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），
設A（x，y）在拋物線C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線的定義得，x+2=5，∴x=3，∴y²=8×3，∴，
∴，
又∵點A在雙曲線上，由雙曲線定義得，2a=|7-5|=2，∴a=1，
∴雙曲線的方程為：．
（2）為定值．下面給出說明．
設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，雙曲線的漸近線方程為：，
∵圓M與漸近線相切，∴圓M的半徑為，
故圓M：（x+2）²+y²=3，
顯然當直線l₁的斜率不存在時不符合題意，
設l₁的方程為，即，
設l₂的方程為，即，
∴點M到直線l₁的距離為，點N到直線l₂的距離為，
∴直線l₁被圓M截得的弦長，
直線l₂被圓N截得的弦長，
∴，
故為定值．
點評：本題考查了圓方程、直線方程、圓錐曲線的基本量和圓與圓錐曲線的關系等知識點，屬于難題．解決本題一方面要求對圓方程、直線方程、圓錐曲線的方程有熟悉的理解，另一方面要求對含有字母的代數式化簡、計算要精確到位，具有較強的綜合性．