Question

定義函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，記集合A中的元素個數(shù)為a_n，則式子

an+90

n

的最小值為（　　）

A．10

B．13

C．14

D．16

Answer 1

分析：根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進(jìn)而得到 a_n+90n，用基本不等式即可求出式子

an+90

n

的最小值．

解答：解：根據(jù)題意：[x]=

0  x∈[0，1) 1  x∈[1，2)   n-1 x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0  x∈[0，1) x  x∈[1，2)   (n-1)x  x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：0，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

∴

an+90

n

=

1

2

(n+

180

n

-1) ≥

180

-

1

2

≈13.4128
∴[

an+90

n

]的最小值為13
故選B

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)，集合元素的個數(shù)，基本不等式在求函數(shù)最值時的應(yīng)用，其中正確理解函數(shù)f（x）=[x[x]]，所表示的意義是解答本題的關(guān)鍵．