Question

已知點P是線段AB上的動點（不包括兩端點），點O是線段AB所在直線外一點，若

OP

=x

OA

+2y

OB

（x，y∈R），則

2

x

+

1

y

的最小值是（　　）

A．4

B．6

C．8

D．16

Answer 1

分析：由題意可得

AP

=λ•

AB

，λ＞0，化簡可得

OP

=（1-λ）•

OA

+λ

OB

，可得 x+2y=（ 1-λ）+λ=1≥2

2xy

，從而得到

1

xy

≥8，再由

2

x

+

1

y

=

x+2y

xy

=

1

xy

，可得

2

x

+

1

y

≥8，進而得到結論．

解答：解：∵點P是線段AB上的動點（不包括兩端點），∴

AP

=λ•

AB

，1＞λ＞0，∴

OP

- 

OA

=λ（

OB

- 

OA

），
化簡可得

OP

=（1-λ）•

OA

+λ

OB

，再由

OP

=x

OA

+2y

OB

，可得 x=1-λ＞0，2y=λ＞0，
∴x+2y=（ 1-λ）+λ=1≥2

2xy

，化簡可得 xy≤

1

8

，即

1

xy

≥8，當且僅當 x=2y=

1

2

 時，等號成立．
再由

2

x

+

1

y

=

x+2y

xy

=

1

xy

，可得

2

x

+

1

y

≥8，
故選 C．

點評：本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，基本不等式的應用，屬于中檔題．