Question

給出下列命題：
（1）函數(shù)f(x)=log3(x2-2x)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1）；
（2）已知P：|2x-3|＞1，q：

1

x2+x-6

＞0，則p是q的必要不充分條件；
（3）命題“?x∈R，sinx≤

1

2

”的否定是：“?x∈R，sinx＞”；
（4）已知函數(shù)f(x)=

3

sinωx+cosωx(ω＞0)，y=f（x）的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，則y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z；
（5）用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個(gè)因式是2（2k+1）；
其中所有正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的定義域即可判斷（1）的正誤；
（2）通過解不等式

1

x2+x-6

＞0可求得條件q，通過解絕對值不等式|2x-3|＞1可求得條件p，利用充分條件與必要條件的概念即可判斷其正誤；
（3）利用命題的否定可判斷（3）；
（4）由f（x）=2sin（ωx+

π

6

）的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π可求得ω，從而可求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，繼而可判其正誤；
（5）利用數(shù)學(xué)歸納法，即可知證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，從“k”到“k+1”的證明中，左邊需增添的一個(gè)因式，從而可判其正誤．

解答：解：（1）由x²-2＞0得x＞

2

或x＜-

2

，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）=log3(x2-2x)在（-∞，-

2

）上單調(diào)遞減，故（1）錯(cuò)誤；
（2）由

1

x2+x-6

＞0得x＞2或x＜-3，即條件q為：x＞2或x＜-3，即Q={x|x＞2或x＜-3}；
由|2x-3|＞1得x＞2或x＜-1，即條件p為：x＞2或x＜-1，即P={x|x＞2或x＜-1}；
顯然，Q?P，
∴q⇒p，反之不行，
∴p是q的必要不充分條件，故（2）正確；
（3）命題“?x∈R，sinx≤

1

2

”的否定是：“?x∈R，sinx＞

1

2

”正確；
（4）∵f（x）=

3

sinωx+cosωx=2sin（ωx+

π

6

），且其圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π可求得ω，
∴T=π，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），故（4）正確；
（5）由數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個(gè)因式是

(2k+1)(2k+2)

k+1

=2（2k+1），故（5）正確．
綜上所述，所有正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查充分條件與必要條件，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，突出考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題．