Question

已知拋物線E：x²=4y，直線l過點M（0，2）且與拋物線交于A、B兩點，直線OA、OB分別與拋物線的準線l交于C、D．
（1）若點P是拋物線上任意一點，點P在直線l上的射影為Q，求證：PQ=PM；
（2）求證：為定值；
（3）求CD的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，+），拋物線E：x²=4y的準線方程l為y=-1．由點P在直線l上的射影為Q，知PQ=+，由M（0，2），知PM==+，由此能夠證明PQ=PM．
（2）由題設知直線AB的斜率一定存在，設AB：y=kx+2，由，得x²-4kx-8=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，由此能夠證明為定值．
（3）由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），C，D都在直線l：y=-1上，知，D（-），故CD=||===，由此能求出CD的最小值．
解答：解：（1）∵點P是拋物線上任意一點，
∴設P（x，+），
拋物線E：x²=4y的準線方程l為y=-1．
∵點P在直線l上的射影為Q，
∴PQ=+，
∵M（0，2），∴PM==+，
∴PQ=PM．
（2）證明：由題設知直線AB的斜率一定存在，設AB：y=kx+2，
由，得x²-4kx-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，
∵=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），
∴=-8+4=-4．
故為定值-4．
（3）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），
∴直線AO：，直線BO：，
∵C，D都在直線l：y=-1上，
∴，D（-），
∴CD=||=
=
==
==2，
∴當k=0時，CD取最小值2．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．