Question

已知：函數，數列{a_n}對n≥2，n∈N總有；
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若數列{b_n}滿足：①{b_n}為的子數列（即{b_n}中的每一項都是的項，且按在中的順序排列）②{b_n}為無窮等比數列，它的各項和為．這樣的數列是否存在？若存在，求出所有符合條件的數列{b_n}，寫出它的通項公式，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由，又（2分）
所以，{a_n}是以a₁=1為首項，為公差的等差數列，即（n∈N^*）（4分）
（2）當n為偶數，
所以 （6分）
當n為奇數，則n-1為偶數，（8分）
綜上：（10分）
（3）設，公比，則（k，p∈N^*）對任意的n∈N^*均成立，故m是正奇數，又S存在，所以m＞1（12分）
當m=3時，，此時，，成立 （13分）
當m=5時，，此時故不成立 （14分）
m=7時，，此時，，成立 （15分）
當m≥9時，，由，得，設，則，又因為k∈N^*，所以k=1，2，此時b₁=1或分別代入，得到q＜0不合題意（18分）
由此，滿足條件（3）的{b_n}只有兩個，即或（20分）
分析：（1）直接根據已知條件整理得到數列的遞推關系式，進而得到數列的規律，即可求出{a_n}的通項公式．
（2）分n為偶數和n為奇數分別求和，最后再合并即可得到結論；
（3）先設，公比，得到（k，p∈N^*）對任意的n∈N^*均成立，故m是正奇數，又S存在，所以m＞1；再對m的取值進行討論，即可得到所有符合條件的數列{b_n}，寫出它的通項公式．
點評：本題是對數列知識的綜合考查．其中涉及到數列的遞推式，以及數列的求和，屬于綜合性題目，考查計算能力以及分析能力．