Question

設函數f（x）=asin2x-bsin²x+c（x∈R）的圖象過點P（0，1），且f（x）的最大值是2，最小值為-2，其中a＞0．
（1）求f（x）表達式；
（2）若射線y=2（x≥0）與f（x）圖象交點的橫坐標，由小到大依次為x₁，x₂，x₃，…，x_n，…求|x_n+2-x₂|的值，并求S=x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=1可求c值，f（x）可化為f（x）=

a2+ 1 4 b2

sin(2x+?)+1-

b

2

，從而可得其最大值、最小值，分別令其為2，-2可得方程組，解出a，b即可；
（2）易知f（x_n）=2（n∈N₊），可得2xn+

π

6

=2kπ+

π

2

(k≥0，k∈Z)，從而求得x_n，可判斷該數列為等差數列，從而可得答案；

解答：解：（1）∵f（0）=1，∴c=1，
∴f(x)=asin2x-

b

2

(1-cos2x)+1=

a2+ 1 4 b2

sin(2x+?)+1-

b

2

，
∴

a2+ 1 4 b2 +1- b 2 =2 - a2+ 1 4 b2 +1- b 2 =-2

而a＞0，解得

a= 3 b=2

，
∴f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)；
（2）由題意，知f（x_n）=2（n∈N₊），即2xn+

π

6

=2kπ+

π

2

(k≥0，k∈Z)，
∴xn=kπ+

π

6

(k=0，1，2…)，所以{x_n}是以x1=

π

6

，公差d=π的等差數列，
∴|x_n+2-x₂|=nπ，S=x1+x2+…+x10=

x1+x10

2

•10=5(

π

6

+9π+

π

6

)=

140

3

π．

點評：本題考查三角函數與數列的綜合，考查等差數列的通項公式及前n項和公式，屬中檔題．