Question

袋子里有大小相同的3個紅球和4個黑球，今從袋子里隨機取球．
（Ⅰ）若有放回地摸出4個球，求取出的紅球數不小于黑球數的概率P₁；
（Ⅱ）若無放回地摸出4個球，
①求取出的紅球數ξ的概率分布列和數學期望；
②求取出的紅球數不小于黑球數的概率P₂，并比較P₁、P₂的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若有放回地摸出4個球，測符合獨立重復試驗，利用獨立重復試驗的概率求解即可．
（Ⅱ）①若無放回地摸出4個球，則用古典概型求概率即可，隨機變量ξ的所有取值為0，1，2，3分別求概率，列出分布列，再由期望公式求期望即可；②由①中的分布列可求出P₂，比較P₁、P₂的大小即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意，摸出的紅球個數為可以為2，3，4，
則P1=

C

4 4

(

3

7

)4+

C

3 4

4

7

(

3

7

)3+

C

2 4

(

3

7

)2(

4

7

)2=

1377

2401

（Ⅱ）①隨機變量ξ的所有取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 4 4

C 4 7

=

1

35

，P(ξ=1)=

C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

12

35

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 3

C 4 7

=

18

35

，
P(ξ=3)=

C 1 4 C 3 3

C 4 7

=

4

35

∴Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

．
②P2=

4

35

+

18

35

=

32

35

易知P₂＞P₁．

點評：本題考查獨立重復試驗的概率、古典概型、離散型隨機事件的分布列和期望等知識，注意有放回和無放回的區別．