Question

從A，B，C，D四個(gè)中選做2個(gè)，每題10分，共20分

A．選修4—1　幾何證明選講

如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線(xiàn)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線(xiàn)與BC交于點(diǎn)D。求證：。

B．選修4—2　矩陣與變換

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線(xiàn)F，求F的方程。

C．選修4—4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。

D．選修4—5　不等式證明選講

設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：。

Answer 1

A．證明見(jiàn)解析。

B．

C．2

D．證明見(jiàn)解析。

解析:

A．證明：如圖，因?yàn)?img width=27 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/194/181594.gif"> 是圓的切線(xiàn)，

      所以，,

      又因?yàn)?img width=28 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/196/181596.gif">是的平分線(xiàn)，

      所以

      從而

      因?yàn)?,

          

      所以 ,故.

      因?yàn)?是圓的切線(xiàn)，所以由切割線(xiàn)定理知,

      ,

     而,所以

B．解：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)

 則有

，即，所以

  又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，從而

 所以，曲線(xiàn)的方程是

C．解： 因橢圓的參數(shù)方程為

     故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中.

     因此

     所以，當(dāng)時(shí)，取最大值2

D．證明：因?yàn)?img width=40 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/28/181628.gif">為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得

      即  

      所以，

      而

      所以