Question

f（x）為偶函數且定義域為[-1，1]，g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，當x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）²，a為實數且a＞

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；
（1）求f（x）解析式；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若f（x）的最大值為12，求a．

Answer 1

分析：（1）依據g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求出f（x）的解析式．
（2）先判斷f（x）在[0，1]的單調性，根據其是偶函數，分析出f（x）在[-1，0]的單調性．
（3）依據（2）中的結論，求出函數取最大值時x的值，代入求出a的值．

解答：解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）=g（2-x）．當x∈[-1，0]時，則2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=2a（2-x-2）-3（2-x-2）²=-2ax+3x²，
即f（x）=-2ax+3x²
當x∈[0，1]時，根據偶函數關于y軸對稱可得 f（x）=f（-x）=2ax+3x²
綜上所述，當x∈[-1，0]時，f（x）=-2ax+3x²； 當x∈[0，1]時，f（x）=f（-x）=2ax+3x²．
（2）在[0，1]上任取x₁，x₂滿足0≤x₁＜x₂≤1
則f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+3x₁²-2ax₂-3x₂²
=2a（x_1^-x_2^）+3（x₁²-x₂²）
=[2a+3（x_1⁺x₂）]（x_1^-x₂） 
∵0≤x₁＜x₂≤1∴x_1^-x₂＜0，2a+3（x_1⁺x₂）＞0
即[2a+3（x_1⁺x₂）]（x_1^-x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區間[0，1]上單調遞增．
∵f（x）為偶函數，根據偶函數關于y軸對稱的性質可得f（x）在區間[0，1]單調遞減
（3）由（2）可知函數最大值是f（1）或f（-1），
∴f（1）=2a-3=12，
解得a=

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點評：本題主要考查函數的奇偶性的運用．此類題可能會與函數的單調性、對稱性、周期性等內容一塊考查．