Question

某幼兒園準(zhǔn)備建一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)k米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連，經(jīng)預(yù)算，轉(zhuǎn)盤(pán)上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連鋼管的費(fèi)用為3k元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長(zhǎng)為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為[2+

(128 x +20)x

25

]k元，假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記轉(zhuǎn)盤(pán)的總造價(jià)為y元．
（1）試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；
（2）當(dāng)k=50米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低．

Answer 1

分析：（1）由題意，總造價(jià)y中包括座位和圓心處的支點(diǎn)間的鋼管的費(fèi)用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費(fèi)用，故只需算出座位的個(gè)數(shù)即知鋼管的個(gè)數(shù)，將兩項(xiàng)費(fèi)用表示出來(lái)，相加即得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將k=50米代入函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即得最低的總造價(jià)．

解答：解：（1）設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)上總共有n個(gè)座位，則x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=

3k2

x

+

k2

x

[2+

(128 x +20)x

25

]，定義域?yàn)閧x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}．
故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=

3k2

x

+

k2

x

[2+

(128 x +20)x

25

]，定義域{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}．（6分）
（2）令y=f（x）=k²（

5

x

+

128 x +20

25

），
則f′（x）=

-125+64x 3 2

25x2

k2=0，
當(dāng)k=50時(shí)，∴x=

25

16

，（10分）
當(dāng)x∈（0，

25

16

）時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，

25

16

）上單調(diào)減，
當(dāng)x∈（

25

16

，25）時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（

25

16

，25）上單調(diào)增，
y_min在x=

25

16

時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為

50

25 16

=32個(gè)．（15分）
答：當(dāng)座位的個(gè)數(shù)為32時(shí)，使得總造價(jià)最低．

點(diǎn)評(píng)：本題是常見(jiàn)的利用導(dǎo)數(shù)解決現(xiàn)實(shí)中造價(jià)最優(yōu)的一個(gè)應(yīng)用題，審題與構(gòu)造函數(shù)是重點(diǎn)，在求最值時(shí)要根據(jù)函數(shù)的形式選擇合適的方法．