Question

如圖所示，圓錐的軸截面為等腰直角，為底面圓周上一點.

（1）若的中點為，,

求證：平面；

（2）如果,,求此圓錐的全面積.

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）（4+4）π

【解析】

試題分析：（1）要證明平面.已經有OH⊥SC，所以只要在平面SQB中再找一條直線與OH垂直即可，所以線線垂直要轉化為線面垂直，通過連接OC，又因為OB=OQ，C為QB的中點，即可證明直線BQ⊥平面SOC.從而可得QB⊥OH.從而可得結論.

（2）因為圓錐的全面積等于底面積加上圓錐的側面積.所以重點是要解決底面圓的半徑，由題意在三角形OQB中，利用余弦定理可解得圓的半徑.又因為三角形SAB是等腰直角三角形，所以可求出母線SB的長.從而根據圓錐的側面積公式可得側面積，從而可求得圓錐的全面積.

試題解析：①連接OC，

∵OQ=OB，C為QB的中點，∴OC⊥QB 2分

∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ

∴SO⊥BQ，結合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC

∵OH?平面SOC，∴BQ⊥OH， 5分

∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ內的相交直線，

∴OH⊥平面SBQ； 6分

②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，可得AB==4 8分

∵圓錐的軸截面為等腰直角△SAB，

∴圓錐的底面半徑為2，高SO=2，可得母線SA=2，

因此，圓錐的側面積為S側=π×2×2=4π 10分

∴此圓錐的全面積為S側+S底=4π+π×22=（4+4）π 12分

考點：1.線面垂直的判定.2.解三角形的知識.3.圓錐的全面積.