Question

已知

i

與

j

為互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

且

a

與

b

的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-2）∪(-2，

  1

  2

  )
• B、（

  1

  2

  ，+∞）
• C、（-2，

  2

  3

  ）∪(

  2

  3

  ，+∞)
• D、（-∞，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面向量數量積的運算，由

i

與

j

為互相垂直的單位向量，我們易得

i

2=

j

2=1，

i

•

j

=0，代入

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

可求出

a

•

b

，又由

a

與

b

的夾角為銳角，故

a

•

b

＞0，由此得到一個關于λ的不等式，解不等式即可得到實數λ的取值范圍，但要注意，

a

與

b

同向的排除．

解答：解：∵

i

與

j

為互相垂直的單位向量
∴

i

2=

j

2=1，

i

•

j

=0，
又∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

且

a

與

b

的夾角為銳角，
∴

a

•

b

=1-2λ＞0，
但當λ=-2時，

a

=

b

，不滿足要求
故滿足條件的實數λ的取值范圍是（-∞，-2）∪(-2，

1

2

)
故選A

點評：兩個向量夾角為銳角，則兩個向量的數量積為正；
兩個向量夾角為鈍角，則兩個向量的數量積為負；
兩個向量夾角為直角，則兩個向量的數量積為零；